اچھا بھئی، بٹوں کے ذریعے بٹوں کی تقسیم کا طریقہ ہم پڑھ رہے تھے کہ کس طرح بٹے کے ذریعے بٹے کو تقسیم کیا جاتا ہے یا بٹے کے ذریعے صحیح عدد کو کس طرح تقسیم کرتے ہیں یا صحیح عدد کے ذریعے بٹے کو کس طرح تقسیم کرتے ہیں۔
اب ہم آگے کریں گے بٹوں کو جمع کرنے کا طریقہ بھئی۔ بٹوں کو جمع کرنے کا طریقہ۔
صرف اب دو چیزیں رہ گئیں ہمارے حساب کے یہ جو شروع کیا سلسلہ اس کے مکمل ہونے میں، بس یہ کہ بٹوں کو جمع کیسے کیا جاتا ہے اور پھر بٹوں کو منفی کیسے کیا جاتا ہے، پھر اس کے بعد ہم انشاءاللہ کتاب شروع کر دیں گے بھئی۔
اچھا بھئی، صحیح عدد کو آپس میں، صحیح اعداد کو کس طرح جمع کیا جاتا ہے وہ بھی آپ نے سیکھ لیا۔ ان کو منفی کس طرح کیا جاتا ہے وہ بھی سیکھ لیا۔ ان کو ضرب کس طرح دی جاتی ہے، تقسیم کس طرح کیا جاتا ہے وہ بھی آپ نے سیکھ لیا۔ پھر بٹوں کو آپس میں ضرب کیسے دی جاتی ہے، بٹوں کو آپس میں تقسیم کیسے کیا جاتا ہے وہ بھی سیکھ لیا۔ اب یہ بٹوں کو جمع کرنے کا طریقہ، یہ ذرا تھوڑا سا مشکل ہے بھئی۔ اس لیے توجہ سے سیکھ لیں۔ مثلاً دیکھیے، ہمارے پاس یہ دو عدد ہیں۔ ایک طرف ہے 3/5 اور اس کے ساتھ ہے 7/10۔ اور درمیان میں جمع کی علامت ہے۔ 3/5 جمع 7/10۔ ان کو ہم نے آپس میں کیا کرنا ہے؟ جمع کرنا ہے، جمع کرنا ہے۔
یاد رکھیے، جب بٹا کی صورت میں ہوں اعداد اور ان کو جمع کرنا ہو تو پھر پہلے ان کا ذواضعافِ اقل نکالنا پڑتا ہے۔ کیا نکالیں گے؟ ذواضعافِ اقل۔
ذواضعافِ اقل بھئی، ذال ہے شروع میں، واؤ، الف، پھر ضاد ہے، عین، الف، فا اور آگے اقل بھئی، الف، قاف دو نقطوں والا اور لام۔ ذواضعافِ اقل بھئی، ذواضعافِ اقل۔
بعض آپ میں سے شاید طلبہ نے انگریزی میں حساب پڑھا ہو، تو انگریزی میں اس کو کہتے ہیں بھئی، ایل سی ایم (LCM)۔ یہ مخفف ہے 'لوئسٹ کامن ملٹیپل' (Lowest Common Multiple) یا 'لیسٹ کامن ملٹیپل' (Least Common Multiple) بھئی۔ تو یہ ذواضعافِ اقل ہے بھئی۔
اس کا طریقہ، ذواضعافِ اقل کا طریقہ آگے آپ کو، اس کو اچھی طرح سیکھ لیں تو پھر جمع اور نفی کرنے میں کوئی مشکل پیش نہیں آئے گی۔ ذواضعافِ اقل نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ یہ جو نیچے والے عدد ہیں، بھئی پہلے رقم کے اندر نیچے والا عدد کیا ہے؟ پانچ۔ پانچ کو یہاں لکھیں۔ جی، اس کے ساتھ کوما ڈال دیں چھوٹا سا نشان، اور اس کے ساتھ دوسرا عدد نیچے والا کیا ہے؟ دس، اس کو لکھ لیں۔ جتنے بھی ہوں ان سب کو لکھ لیں گے اکٹھے نیچے والے صرف۔ تو یہاں صرف دو ہیں ہمارے پاس، پانچ لکھا اور دس، درمیان میں یہ نشان ڈال دیا تاکہ پتہ چلے یہ دونوں الگ الگ ہیں، ایک چیز نہیں ہے بھئی۔ سمجھ میں آیا؟ نشان نہیں ڈالیں گے تو یوں لگے گا جیسے 510 آپ نے لکھ دیا۔ جی، اب اس پانچ اور دس کے ساتھ بھئی، بائیں طرف ایک لکیر کھینچیں جو ان کے ساتھ سے شروع ہو اور نیچے تک چلی جائے کئی سطروں تک۔ اب یہ 5/۔۔۔ جی، پانچ اور دس جو ہے، ان کے نیچے ایک لکیر کھینچیں، وہ جو بائیں طرف لکیر کھینچی تھی، اس کو کاٹتے ہوئے آگے کی طرف نکل جائے بھئی۔
اب کوئی ایک ایسا عدد پکڑیں چھوٹے، بلکہ چھوٹے عدد سے شروع کریں بھئی۔ تقسیم کا عمل ہم نے کرنا ہے۔ دیکھیے، سب سے چھوٹا عدد جس سے تقسیم کریں گے وہ دو ہے۔ ان میں سے کوئی دو سے تقسیم ہو جاتا ہے؟ پانچ تو نہیں ہوتا، لیکن دس کیا ہے؟ دو سے تقسیم ہو جاتا ہے۔ لہذا یہ جو لکیر کھینچی تھی بائیں طرف، اس کے بھی ساتھ جو خانہ بن گیا بائیں طرف، اس خانے میں دو لکھ دیں گے جس سے ہم تقسیم کر رہے ہیں۔ بھئی، تقسیم کس کو کرنا ہے؟ پانچ اور دس کو، اور کس سے کرنا ہے؟ دو سے کرنا ہے۔ بھئی بتائیے، پانچ دو سے تقسیم ہو جائے گا؟ نہیں ہوتا۔ جو تقسیم نہیں ہوگا، اس کو اسی طرح نیچے لکھ دیں، نیچے بھی، لکیر کے نیچے بھئی، پانچ کے نیچے پانچ لکھ دیا۔ اسی طرح نشان ڈال دیا۔ جی، دس کو اب دو سے تقسیم کریں۔ کیا آئے گا جواب؟ پانچ، بھئی۔ تو دس کے نیچے لکیر کے نیچے اب پانچ لکھ دیں بھئی۔ تو یہ ہمارے پاس پانچ ہے، پھر نشان اور پھر پانچ آ گیا۔ جی، اب پھر ان کو تقسیم کریں گے کسی عدد سے بھئی۔
پانچ اور پانچ، دو عدد رہ گئے۔ دو سے یہ تقسیم ہوگا ان میں سے کوئی؟ تین سے؟ تین سے بھی نہیں ہوتے۔ چار سے؟ چار سے بھی نہیں تقسیم ہوتے۔ پانچ سے؟ ہاں، پانچ سے دونوں طرف پانچ ہیں تو پانچ سے یہ تقسیم ہو جائیں گے۔ تو لہذا اب دو کے نیچے جو خانہ بن۔۔۔ پانچ اور پانچ کے نیچے لکیر لگا دی، اور یہ جو خانہ بن گیا دو کے نیچے، اس میں اب پانچ لکھیں گے، پانچ۔ اس سے ہم تقسیم کر رہے ہیں۔ تو پہلے پانچ کو پانچ سے تقسیم کیا، کیا جواب آیا؟ ایک۔ تو اس پانچ کے نیچے لکیر لگا کر اس کے نیچے ایک لکھ دیں گے۔ اسی طرح نشان ڈالا ایک کے ساتھ الٹا، کوما، اور دوسرے پانچ کو بھی پانچ سے تقسیم کیا، کیا آیا؟ ایک بھئی۔ تو یہ سلسلہ اس طرح نیچے تک ہم چلاتے رہیں گے، یہاں تک کہ بالکل ایک رہ جائیں آخر میں بھئی، سارے ختم ہو جائیں۔
تو دیکھیے، اب صرف ایک ایک رہ گئے، سارے تقسیم ہو گئے پورے پورے۔ اب لکیر کے بائیں طرف ہمارے پاس کیا کیا آئے؟ دو اور پانچ۔ اس دو اور پانچ کو آپس۔۔۔ جتنے بھی عدد آ جائیں ان کو پھر آپس میں ضرب دے دی جائے گی سب کو۔ تو یہاں صرف دو عدد ہیں، دو اور پانچ۔ ان کو آپس میں ضرب دیں، 2 × 5 = 10 بھئی، 10 آیا ہمارے پاس۔ یہ 10 ذواضعافِ اقل ہے بھئی۔
یہ 10 کیا ہے؟ ذواضعافِ اقل ہے 3/5 اور 7/10 کا بھئی۔
تو اب وہ 7/10 اور 3/5 بھئی۔ ذواضعافِ اقل آپ نے نکالا، لکھا تھا کاپی پر؟ ہاں، اسی کے نیچے پھر وہ عدد عبارت لکھ لیں 7/10 اور جمع 3/5۔ ذواضعافِ اقل ہم نے نکال لیا، اب اس کو حل کرنے لگے ہیں۔ 3/5 ہے جمع 7/10، ان کے اب بائیں طرف برابر کا نشان ڈالیے۔
جی، اور اب پھر اس برابر کے نشان کے بائیں طرف بھئی۔ ذواضعافِ اقل کیا نکلا؟ 10۔ وہ 10 نیچے لکھیں گے اور اس 10 کے اوپر لکیر لگائیں گے۔ لیکن اس لکیر کے اوپر اب دو عدد آنے ہیں۔ کتنی رقمیں تھیں کل ہمارے پاس؟ دو نا، ایک 3/5 اور ایک 7/10۔ تو دو رقمیں اوپر آئیں گی، تو لہذا یہ جو 10 کے جو آپ نے نیچے لکھا لکیر کے، اس کے اوپر اتنی لکیر کھینچیں کہ دو عدد اوپر آرام سے آ سکیں بھئی۔
اچھا۔
اب توجہ سے سنو بھئی۔ یہ ذواضعافِ اقل کیا آیا؟ 10۔ پہلی رقم پکڑیں 7/10۔ نیچے کیا ہے؟ 7/10 میں نیچے 10 ہے۔ اب اس ذواضعافِ اقل کو اس 10 سے ذرا تقسیم کریں۔ 10 کو 10 سے تقسیم کیا، کیا آیا؟ ایک۔ تقسیم کس کو کرنا ہے؟ ذواضعافِ اقل کو کرنا ہے، اور کس سے کرنا ہے؟ 7/10 میں سے جو نیچے ہے، تو وہ بھی 10، یہ بھی 10۔ 10 کو 10 سے تقسیم کیا، کیا آیا؟ ایک۔ اب اوپر جو عدد تھا، اس کو ایک سے ضرب دے کر، ایک سے ضرب دیں گے۔ تو 7/10 میں سے نیچے والے 10 سے ہم نے تقسیم کیا تھا، جو جواب آئے، حاصلِ قسمت
پر، اس سے اوپر والے عدد یعنی اب سات کو ضرب دیں گے۔ سات کو ایک سے ضرب دی، کیا آیا؟ سات ہی آیا، بھئی۔ تو وہ جو آپ نے بائیں طرف لکیر کے نیچے ذواضعافِ عقل لکھا ہے، اس میں بائیں طرف... دائیں طرف اوپر کیا لکھ دیں گے؟
سات۔ بھئی سات کو ایک سے ضرب دی، کیا آیا؟ سات ہی آیا، تو وہ جو ضرب دینے کے بعد جو آیا وہ اوپر لکھ دیں گے۔ اور درمیان میں کون سی علامت تھی، بھئی؟ سات بٹا دس اور تین بٹا پانچ کے، جمع کی علامت تھی۔ وہ جمع کی علامت اسی طرح اس لکیر کے اوپر لکھ دیں گے۔
جی۔ اب تین بٹا پانچ کو بھی لانا ہے ہم نے۔ جی، تین بٹا پانچ میں سے نیچے کیا ہے؟ پانچ ہے۔ اس پانچ کے ذریعے ذرا ذواضعافِ عقل یعنی دس کو تقسیم کریں۔ کیا جواب آیا؟ دو۔ تو اب دو کو اوپر والے عدد یعنی تین بٹا پانچ میں سے اوپر کیا ہے؟ تین۔ اس تین کو اب اس دو سے ضرب دیں۔ کیا جواب آیا؟ چھ۔ تو وہ جو آپ نے سات اور جمع لکھا تھا، بائیں طرف اس کے ساتھ اب چھ لکھ دیں۔
تو یہ آگیا ہمارے پاس چھ جمع سات بٹا دس۔ چھ جمع سات بٹا دس۔
جی، آگے پھر برابر کا نشان ڈالیے۔ بائیں طرف، سات اور چھ کو جمع کریں، کیا آیا؟ 13۔ اور نیچے والا عدد اسی طرح آ جائے گا، 10، بھئی۔ تو یہ 13 بٹا 10 یہ جواب آگیا۔ 13 بٹا 10 جواب آیا۔ طریقہ سمجھ میں آگیا؟
دوسری مثال، یہ ہمارے پاس دو عدد ہیں، 3 بٹا 4 جمع 6 بٹا 5۔ 3 بٹا 4 جمع 6 بٹا 5۔ اب ان کو جمع کرنا ہے۔ جمع کی علامت دیکھتے ہی اب آپ نے فوراً کیا نکالنا ہے سب سے پہلے؟ ذواضعافِ عقل۔ وہ ایک طرف ذواضعافِ عقل ذرا نکالیں اس کے نیچے لکھ لیں، بھئی۔ اسی طرح نیچے والے کون کون سے عدد ہیں؟ ایک کے نیچے ہے 4، دوسرے کے نیچے ہے 5۔ تو 4 لکھا، اس کے ساتھ نشان لگایا اور اس کے ساتھ 5 لکھ دیا۔ اس کے بائیں طرف ایک لکیر کھینچی نیچے تک لمبی سی، اور 4 اور 5 کے نیچے بھی لکیر لگا دی۔
تو یہ اب کس سب سے چھوٹے عدد، کس سے تقسیم شروع کریں گے؟ دو سے۔ دو سے کوئی ایک تقسیم ہوتا ہے 4 اور 5 میں سے؟ تقسیم ہو جاتا ہے 4۔ تو لہٰذا اس طرف بائیں طرف لکیر کے دو لکھیں گے۔ 4 کو تقسیم کریں دو سے، کیا جواب آیا؟ دو۔ تو 4 کے نیچے، یہ لکیر کے نیچے دو لکھ دیں گے۔ نشان لگایا، 5 اسی طرح نیچے اتر آئے گا۔
جی، اب پھر یہ دو اور 5 نیچے آگئے۔ ان کے نیچے پھر لکیر کھینچی اور ان کو تقسیم کریں گے کس سے؟ دو سے پھر تقسیم کریں گے۔ تو دو سے دو تقسیم کیا، کیا آیا جواب؟ ایک۔ تو دو کے نیچے لکیر اس سے لگائی اور اس کے نیچے ایک لکھ لیا۔ نشان لگایا اور 5 اس تو تقسیم نہیں ہوتا دو سے، اس کو اسی طرح اتار لیں گے۔
جی، اب کیا آیا ہمارے پاس؟ ایک اور 5۔ اب 5 کو بھی ہم نے ایک تک پہنچانا ہے۔ تو لہٰذا ان کے نیچے، ایک اور 5 کے نیچے لکیر لگائی۔ کس سے تقسیم کریں، بھئی؟ اب 5 ہی سے تقسیم کرنا پڑے گا کیونکہ دو 5 جو ہے وہ دو سے بھی نہیں تقسیم ہوتا، تین سے بھی نہیں ہوتا، چار سے بھی نہیں ہوتا۔ تو اب اس طرف 5 لکھا۔ ایک تو اسی طرح نیچے آگیا۔ 5 کو 5 سے تقسیم کیا، کیا آیا؟ ایک۔ تو یہ نیچے ایک صرف آگئے، بھئی۔ تو یہ حل ہو گیا۔
اب جو بائیں طرف والے عدد ہیں، کیا کیا آئے؟ دو، دو اور 5۔ ان کو آپس میں ضرب دیں گے۔ دو دونی 4 اور 4 پنجے 20۔ تو 20 کیا آگیا؟ ذواضعافِ عقل آیا، بھئی۔ تو وہ جو 6 بٹا 5 جمع 3 بٹا 4 تھا، اس کے ساتھ بائیں طرف برابر کی علامت ڈالیں۔ اور اس طرف پھر ایک لکیر لگائیں۔ اس کے نیچے اب ذواضعافِ عقل لکھنا ہے۔ کتنا آیا؟ 20 لکھ لیا اس کے نیچے، یہ ذواضعافِ عقل ہے۔
جی، اب اس طرف والی پہلی عب... پہلی رقم جو ہے 6 بٹا 5، اس میں سے نیچے کیا ہے؟ 5۔ اس نیچے والی رقم یعنی عدد یعنی 5 سے ذواضعافِ عقل کو تقسیم کریں ذرا۔ کیا آئے گا جواب؟ 4۔ تو اس اوپر والے یعنی 6 کو اب 4 سے ضرب دیں گے۔ جو جواب آئے اوپر والے عدد کو اس سے ضرب دیں گے۔ تو 6 چوکے 24۔ تو وہ جو ذواضعافِ عقل کے اوپر لکیر لگائی تھی، اس کے اوپر لکھ دیں 24۔
جی، اب 3 بٹا 4 کو بھی ادھر لے کر آئیں گے۔ اچھا، اسی طرح 20 کو ذرا چار... ذواضعافِ عقل جو ہے، اس کو 4 سے تقسیم کریں۔ کیا جواب آیا؟ 5۔ جو حاصلِ قسمت آیا اس کو اس 3 بٹا 4 کے اوپر والے عدد سے ضرب دے دیں گے۔ 20 کو 4 سے تقسیم کیا، کیا آیا؟ 5 آیا۔ اور 3 بٹا 4 میں سے اوپر کیا ہے؟ 3۔ تو 3 کو 5 سے ضرب دیں۔ 15 آگیا۔ تو وہ جو آپ نے 20 کے اوپر 24 لکھا تھا، اس کے ساتھ جمع کی علامت ڈالیں اور کیا لکھیں؟ 3 کو 5 سے ضرب دی، کیا آیا؟ 15۔
تو یہ ہمارے پاس آگیا، بھئی: 15 جمع 24 بٹا 20، بھئی۔
اب آگے اس کو حل کریں گے۔ برابر کا نشان ڈالا۔ 15 اور 24 کو جمع کریں، بھئی۔ 39۔ 39 بٹا 20۔ نیچے 20 اسی طرح آ جائے گا۔ 39 بٹا 20 یہ ہمارے پاس جواب آگیا، بھئی۔
صورت سمجھ میں آگئی؟
اگلی مثال لکھیے۔
ہمارے پاس یہ دو عدد ہیں، دو رقم... دو رقمیں ہیں: 9 جمع 4 بٹا 3۔ 9 جمع 4 بٹا 3۔ درمیان میں جمع کی علامت ہے اور حل کرنا ہے ان کو۔
اچھا۔ اچھا، تو 9 کو جمع کرنا ہے کس کے اندر؟ 4 بٹا 3 میں۔ تو 9 کو بھی بٹا کی طرف لے جائیں گے۔ تو 9 کا کیا مطلب ہے دراصل؟ 9 بٹا 1، بھئی۔ 9 بٹا 1۔ اچھا، تو گویا کہ 9 بٹا 1 کو ہم نے 4 بٹا 3 میں جمع کرنا ہے۔ اب نیچے کیا کیا عدد ہیں، بھئی؟ 1 اور 3۔ 1 اور 3، ان کا ذواضعافِ عقل نکالیں گے۔ سیدھی سی بات ہے، 1 تو ہے اسی طرح، صرف 3 کو ہم نے 1 تک پہنچانا ہے۔ وہ کس سے تقسیم ہوگا؟ 3 سے۔ تو 3... تو ذواضعافِ عقل گویا کیا آگیا؟ 3 آگیا۔ لہٰذا اس کے ساتھ برابر کی علامت ڈالیں، اسی طرح لکیر کھینچیں اور اس کے نیچے 3 لکھ لیں، بھئی۔ یہ ذواضعافِ عقل ہے۔
اچھا، اب 4 بٹا 3، اس کے نیچے کیا ہے؟ ان میں... اس میں نیچے جو ہے وہ 3 ہے۔ 3 سے اس 3 سے ذواضعافِ عقل کو تقسیم کیا، کیا جواب آیا؟ 3 کو 3 سے تقسیم کیا، 1 آیا۔ تو اوپر جو اس کے تھا یعنی 4، اس کو 1 سے ضرب دیں گے، تو 4 ہی آیا۔ تو اس کے اوپر 4 لکھ دیں گے۔
جی، 1 سے 3 کو... دوسری طرف کیا تھا؟ 9 بٹا 1۔ 1 کے ذریعے 3 کو تقسیم کیا۔ کیا جواب آیا؟ بھئی 1 ایکم... 1 دونی... 1 تیے... معلوم ہوا 3 سے تقسیم... جواب کیا آئے گا؟ 3 آئے گا۔ اور پھر 3 کو اوپر والے عدد یعنی 9 سے ضرب دی، کیا آیا؟ 27۔ تو 4 کے ساتھ جمع کی علامت ڈال کر اس کے ساتھ 27 لکھ دیں۔
تو یہ 27 جمع 4 بٹا 3 یہ آیا، بھئی۔ اب آگے اس کو مزید حل کریں۔ برابر کا نشان ڈالا۔ 27 کو 4 میں جمع کیا، کیا آیا؟ 31، بھئی۔ اور 31 بٹا 3 آگیا۔ 3 اسی طرح نیچے آئے، 31 بٹا 3۔ پھر آگے آپ ان کو صحیح کی صورت میں بھی لکھ سکتے ہیں، بھئی۔ اوپر والے میں بھی 39 بٹا 20 تھا، آپ اس کو صحیح کی صورت میں لکھ سکتے ہیں، بھئی۔
چلیے، بس، بھئی۔ ھذا ھو المراد والله اعلم بالحقیقۃ الكلام۔