اچھا بھئی! آج ہم بٹوں کی تقسیم کے بارے میں پڑھیں گے بھئی۔
عام عدد میں آپ نے پڑھ لیا تقسیم کیسے کی جاتی ہے، ضرب کیسے کی جاتی ہے، جمع اور منفی کیسے کیا جاتا ہے۔ اور کل کے سبق میں ہم نے بٹوں کی ضرب کا طریقہ سیکھا تھا، آج ان کی تقسیم کا طریقہ سیکھیں گے بھئی۔
مثلاً مثال نمبر ایک، ہمارے پاس یہ دو عدد ہیں:
5 تقسیم 3/7
یاد رکھیے! اردو تو ہم لکھتے ہیں دائیں سے بائیں کی طرف جبکہ یہ حساب کے عدد لکھتے ہیں اور حل کرتے ہیں ان کو بائیں سے دائیں طرف بھئی۔ تو یہ بائیں طرف ہے 5، آگے تقسیم کی علامت ہے اور آگے ہے 3/7، یعنی دائیں طرف 3/7 ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ 3/7 جو دائیں طرف ہے، اس کو تقسیم کرنا ہے کس کے ذریعے؟ 5 کے ذریعے۔
اور یہ میں آپ میں پہلے بیان کر چکا ہوں کہ کوئی بھی عدد ہو، اس کا مطلب کیا ہوتا ہے کہ اس کے نیچے ایک ہے۔ اس کو لکھا نہیں جاتا، لیکن اس کے نیچے ایک ہے۔ یا آسان لفظوں میں یوں کہو، جو عام عدد لکھا ہو، اس کو اوپر شمار کیا جاتا ہے۔ بٹے میں ایک اوپر عدد ہوتا ہے اور ایک نیچے ہوتا ہے نا؟ لیکن ایک عام عدد لکھا، اس کو اوپر شمار کیا جاتا ہے۔
تو اب یہ دو عدد 5 کے ذریعے ہم نے تقسیم کرنا ہے 3/7 کو۔ اس کا طریقہ یہ ہے کہ پھر آگے برابر کی علامت ڈال لیں گے اور جو تقسیم کے علامت سے دائیں طرف جس کو تقسیم کرنا ہے، سب سے پہلے جس سے تقسیم کرنا ہے اس کو اسی طرح لکھ لیں۔ اور جو تقسیم کی علامت ہے اس کو بدل دیں گے ضرب سے، اور جس کو تقسیم کرنا تھا اس کو الٹا دیں گے۔ یعنی جو بٹا میں جو چیز نیچے لکھی ہے اس کو اوپر لے جائیں گے، جو اوپر ہے اس کو نیچے لے آئیں گے۔ تو یہ بن جائے گا 7/3۔
اصل عدد کیا تھا؟ 5 سے تقسیم کرنا ہے 3/7 کو۔ اگلے مرحلے میں کیا کریں گے؟ 5 کو اسی طرح لکھ لیا، تقسیم کو بدل دیا کس کے ساتھ؟ ضرب کے ساتھ۔ اور وہ جو بٹا تھا اس کو الٹا دیا۔ پہلے تھا 3/7، اب کیا بن گیا؟ 7/3۔ تو 5 × 7/3۔
اب یہاں پر کوئی عدد کسی سے کٹ رہا ہے؟ 7 اور 3 ان میں سے کوئی کسی سے نہیں کٹ رہا۔ اسی طرح 5 یہ بھی اوپر شمار کرتے ہیں تو 5 اوپر ہے، 3 نیچے ہے، ان میں سے بھی کوئی کسی سے نہیں کٹ رہا۔ تو اب ان کو آپس میں ضربیں دے دیں گے بھئی۔ اوپر والے عدد کو اوپر والے عدد سے ضرب دیتے ہیں، نیچے والے کو نیچے سے۔ اور یہ 5 اکیلا ہے، اس کو کیا شمار کریں گے؟ یہ اوپر ہے۔ تو 7 کو 5 سے ضرب دی: 35، بٹا جو نیچے ہے وہ اسی طرح لکھ دیں گے۔ 35/3 ہمارے پاس یہ عدد، یہ بٹا کی صورت میں آ گیا جواب۔
اب ہم اس کو صحیح کی صورت میں لکھنا چاہتے ہیں، لکھ سکتے ہیں یا نہیں لکھ سکتے؟ لکھ سکتے ہیں، کیوں؟ ہاں، جب بھی اوپر والا عدد بڑا ہو تو اس کو ہم صحیح کی صورت میں لکھ سکتے ہیں، اور اگر چھوٹا ہو تو پھر صحیح کی صورت میں نہیں لکھ سکتے۔ تو اب اس کو ہم صحیح کی صورت میں لکھنا چاہتے ہیں، تو 35 کو تقسیم کر کے دیکھیں گے 3 سے۔
ایک عدد لے لیا سب سے پہلے۔ یا براہِ راست 3 کا پہاڑا پڑھیں کہ 35 آ جائے یا یا اس سے کم رہے، اوپر نہ آئے۔ ہاں، 11۔ 3 کو 11 سے ضرب دیتے ہیں تو 33 آ گیا بھئی۔ باقی کیا بچا؟ 2۔
تو اب اس کو کیسے لکھیں گے؟ برابر ہے، جس سے جو جواب آیا، یعنی حاصلِ قسمت، اس کو لکھیں گے بائیں طرف۔ اور آگے جو عدد نیچے تھا اس کو اسی طرح نیچے لکھ لیں گے، اور جو باقی بچا اس کو اوپر لکھ لیں گے۔ تو کیا بن گیا؟ 11 صحیح 2/3، یہ جواب آ گیا بھئی۔
اب یہ دوسری مثال ہے ہمارے پاس: 7 سے ہم نے تقسیم کرنا ہے 49/28 کو بھئی۔
اسی طرح برابر کی علامت لکھی اور ساری رقم ادھر لکھ لی، لیکن کیا عمل کیا؟ تقسیم کی علامت کو بدل دیا ضرب سے اور جو بٹا تھا جس کو تقسیم کرنا تھا اس کو الٹا دیا۔ تو جو تقسیم کی علامت کو جب بدلتے ہیں نا ضرب سے، تو اس کے ساتھ جو دائیں طرف عدد ہوتا ہے اس کو اولٹتے ہیں ہمیشہ۔ تو کیا بن گیا؟ 28/49۔
بلکہ نہیں! اس سے پہلے ایک اور کام کر لیں گے۔ یاد رکھیے! بٹا کے اندر ہماری کوشش ہوتی ہے عدد مختصر سے مختصر، چھوٹے سے چھوٹا ہو۔ ہم نے کیا کرنا تھا؟ عدد ہمیں کیا ملا ہے؟ 7 تقسیم 49/28۔ یہی پر دیکھ لیں گے، یہ جو بٹا ہے، اس کو مختصر کیا جا سکتا ہے یا نہیں؟ کس طرح؟ ہاں۔
49 اور 28، دونوں کسی ایک عدد سے تقسیم ہوتے ہیں؟ کس سے؟ 7 سے۔ تو 28 کو کاٹ دیا: 7 چوک 28، اس کے ساتھ 4 لکھ دیا۔ اور 7 ستن 49، تو 49 کو کاٹا اور اس کے ساتھ 7 لکھ دیا۔
اب ہمارے پاس کیا عدد آ گیا؟ 7، ابھی تقسیم کی علامت ہم نے نہیں بدلی، 7 تقسیم 7/4۔ اب اگلے مرحلے میں کیا کریں گے؟ 7 کے ساتھ جو تقسیم کی علامت ہے اس کو ضرب سے بدل دیا اور بٹا کو الٹا دیا، کیا بن گیا؟ 4/7۔
اب کوئی کٹ رہا ہے کسی ایک عدد سے؟ یہ 7 اوپر شمار کر رہے ہیں، تو گویا 7 اوپر اور یہ 7 نیچے ہے اور یہ پھر آپس میں کٹ جائیں گے۔ 7 ایکم 7، اور یہ بھی 7 ایکم 7۔
برابر ہے 4/1، لیکن نیچے تو 1 لکھا ہی نہیں جاتا، تو جواب کیا آ گیا؟ گویا 4 جواب آ گیا۔ طریقہ سمجھ میں آیا بھئی؟
یہ تو آپ نے سیکھا کہ ایک عام عدد کے ذریعے بٹا کو کیسے تقسیم کرتے ہیں۔ 5 ایک عام عدد تھا، اس کے ذریعے بٹا کو تقسیم کیا۔ پھر 7 ایک عام عدد تھا، اس کے ذریعے بٹا کو تقسیم کیا۔
اب ہم اگلی مثال میں کریں گے: 70 کے ساتھ تقسیم کرنا ہے 5 صحیح 5/13۔ یعنی ایک عام عدد کے ذریعے صحیح کو تقسیم کرنا ہے۔ 70 تقسیم 5 صحیح 5/13، دیکھ رہے ہیں بھئی؟
اب کیا کریں گے اگلے مرحلے میں؟ ابھی علامت کو نہیں بدلیں گے تقسیم کی۔ ابھی ہم صحیح کو بٹا کی صورت میں لے جائیں گے۔ اسی طرح سارا کچھ لکھ لیں گے: 70 تقسیم... جی، اس کو 5 صحیح 5/13، اس کو ہم نے بٹا کی صورت میں لکھنا ہے، کیسے لکھیں گے؟ ہاں، 5 کو 13 سے ضرب دی: 13 پنجے 65، اور اوپر والا جمع کیا: 70۔ تو یہ بن گیا 70/13۔
70 سے اب گویا ہمارے پاس عدد کیا آیا؟ 70 سے تقسیم کرنا ہے 70/13 کو۔ کیا کریں گے آگے؟
تقسیم کی علامت کو بدل دیں گے ضرب سے اور بٹا کو الٹا دیں گے، کیا بن گیا؟ 13/70۔
تو 70 × 13/70۔ اب دیکھیے! ادھر بھی ضرب 70 ہے اور ادھر نیچے 70 ہے، یہ دونوں کٹ جائیں گے۔ 70 ایکم 70 اور یہ بھی 70 ایکم 70۔ جواب کیا آ گیا؟ 13 جواب آ گیا۔
طریقہ سمجھ میں آ رہا ہے؟
اچھا، اب ہم برعکس کریں گے۔ پہلے کیا کیا تھا؟ بٹا کو تقسیم کیا تھا عام عدد کے ذریعے۔ اب عام عدد کو ہم تقسیم کریں گے کس کے ذریعے؟ بٹا کے ذریعے۔
مثلاً 3/5 تقسیم 10۔ 3/5 تقسیم 10، مطلب کیا ہے کہ 10 کو تقسیم کرنا ہے 3/5 کے ذریعے۔ اچھا، یہ کس کے برابر ہوا؟ 3/5 تو اسی طرح آ جائے گا اور تقسیم کی علامت کو ضرب سے بدل دیا اور 10 کا مطلب کیا تھا؟ 10/1، اس کو الٹا دو: 1/10۔
تو 3/5 × 1/10۔ اب کوئی کٹ رہا ہے کسی سے، دونوں اوپر نیچے؟ کوئی نہیں کٹ رہا۔ تو ضربیں دے دیں گے اوپر والے کو اوپر والے سے: 3 ایکم 3، اور 10 پنجے 50۔ 3/50، یہ جواب آیا بھئی۔ ہم اس کو صحیح کی صورت میں لکھنا چاہتے ہیں، لکھ سکتے ہیں؟ کیوں نہیں لکھ سکتے؟ ہاں، اوپر والا عدد چھوٹا ہے، تو 3/50 یہ جواب آ گیا۔
اگلی مثال میں ہم کریں گے صحیح کے ذریعے عام عدد کو تقسیم کرنا ہے: 3 صحیح 6/7۔ 3 صحیح 6/7 اور اس کے ذریعے تقسیم کرنا ہے ہم نے 9 کو بھئی۔ 3 صحیح 6/7 کے ذریعے 9 کو تقسیم کرنا ہے۔
تو یہ برابر ہے، جی، یہ صحیح کو بٹا کی صورت میں لے جائیں: 7 تئی 21 اور اوپر والے 6 کو جمع کیا: 27۔ 27/7 اور تقسیم کی علامت کو بدل لیں ضرب کے ساتھ، اور 9 بدل گیا کس سے؟ 1/9 سے، وہ الٹ گیا تو 1/9۔
تو کیا آ گئے عدد کیا آ گئے؟ 27/7 × 1/9۔ اب ان میں سے کوئی کسی عدد سے کٹ رہے ہیں؟ ہاں، 9 ایکم 9 اور 9 تئی 27 بھئی، تو 9 ایکم 9، 9 سے دونوں تقسیم ہو گئے۔
اب ان کو اوپر والے کو اوپر والے سے ضرب دیں اور نیچے والے کو نیچے والے سے: 3 ایکم 3، اوپر 3 آ گیا اور 7 ایکم 7، نیچے 7 آ گیا۔ 3/7، یہ جواب آیا بھئی۔ اب ہم اس کو صحیح کی صورت میں لکھنا چاہتے ہیں، لکھ سکتے ہیں؟ نہیں لکھ سکتے، کیونکہ اوپر والا عدد چھوٹا ہے بھئی۔
طریقہ سب کو سمجھ میں آ رہا ہے بھئی؟ جی۔
اب ہم کریں گے بٹا کو بٹا کے ذریعے کیسے تقسیم کرتے ہیں۔ وہی طریقہ آسان بھئی۔ مثلاً ہمارے پاس ایک عدد ہے 15/31 اور اس کے ذریعے تقسیم کرنا ہے 15/31 کو ہی۔
تقسیم کسے کرنا ہے؟ 15/31 کو، اور کس سے کرنا ہے؟ 15/31 سے ہی تقسیم کرنا ہے۔ ویسے ہی آپ کو جواب تو یہی سے پتہ چل جائے گا۔ جواب کا اندازہ ہو رہا ہے؟ جی۔ کیا؟ ایک۔ کس طرح؟ ہاں، جس کو تقسیم کر رہے ہیں وہ بھی ہے 15/31، جس سے کر رہے ہیں وہ بھی ہے 15/31، تو معلوم ہوا جواب کیا آئے گا؟ ایک۔ لیکن ہم اس کو طریقے کے مطابق حل کرتے ہیں۔
اسی طرح جس سے تقسیم کرنا ہے اس کو اسی طرح لکھ لیا: 15/31۔ تقسیم کی علامت کو کس سے بدلا؟ ضرب سے۔ اور ادھر بٹا کو الٹا دیا، وہ بن گیا 31/15۔
تو رقم کیا آ گئی؟ 15/31 × 31/15۔ اب دیکھیے! ایک طرف اوپر ہے 15، دوسری طرف نیچے ہے 15، تو یہ 15 سے کٹ گئے: 15 ایکم 15، اور یہ بھی 15 ایکم 15۔ ایک طرف اوپر ہے 31، دوسری طرف ہے 31، یہ دونوں بھی 31 سے کٹ جائیں گے: 31 ایکم 31، اور 31 ایکم 31۔ جی، تو جواب کیا آ گیا؟ ایک آ گیا جواب بھئی۔ طریقہ سمجھ میں آ رہا ہے سب کو؟
اگلا سوال ہے: 11/13 تقسیم 17/19۔ یعنی 11/13 کے ذریعے تقسیم کرنا ہے 17/19 کو۔
یہ برابر ہے، جس سے تقسیم کرنا ہے یعنی بائیں طرف والے، وہ جو بٹا ہے اس کو اسی طرح لکھ لیں: 11/13۔ تقسیم کی علامت کو کس سے بدل دیں؟ ضرب سے۔ اور اگلے بٹا یعنی 17/19 کو الٹا دیں: تو 19/17۔
تو یہ بن گیا 11/13 × 19/17۔ اب کوئی کسی عدد سے کٹ رہا ہے؟ ان میں سے کوئی کسی ایک عدد کے ذریعے بھی اوپر والے، اوپر اور نیچے والے نہیں کٹ رہے۔ اچھا، ضربیں دے دیں اوپر والے کو اوپر والے سے، 19 کو 11 سے ضرب دیں ذرا: جی، 209۔ اور 17 کو 13 سے ضرب دیں: 221۔
تو یہ جواب آ گیا 209/221۔ جی، کسی ایک عدد سے دونوں تقسیم تو نہیں ہوتے؟ کسی ایک عدد سے دونوں نہیں تقسیم، تو 209/221 یہ جواب آ گیا بھئی۔ بہرحال، پھر بھی دیکھ لیجیے گا کسی ایک عدد سے اگر دونوں تقسیم ہوتے ہیں، تو ان کو اور مختصر کر دیں گے۔
اگلی مثال: صحیح کو صحیح کے ذریعے کیسے تقسیم کرنا ہے؟ 7 صحیح 2/3 تقسیم 3 صحیح 5/6۔
7 صحیح 2/3 تقسیم 3 صحیح 5/6، گویا 7 صحیح 2/3 کے ذریعے تقسیم کرنا ہے 3 صحیح 5/6 کو۔ برابر کی علامت لگائیں اور دونوں جگہ صحیح کو بٹا کی صورت میں لے جائیں: 7 کو 3 سے ضرب دیں: 21، جمع 2: 23۔ تو یہ بن گیا 23/3۔
اور تقسیم کی علامت ابھی اسی طرح رہنے دیں، اس کو نہ بدلیں۔ ہاں، اس کو بھی بدلیں: 3 چھکے 18، اور 5: 23۔ 23/6۔
تو یہ بن گیا 23/3 تقسیم 23/6۔ اب اگلے مرحلے میں برابر کی علامت ڈالیں۔ جس سے تقسیم، جو بائیں طرف ہے اس کو اسی طرح لکھ لیں: 23/3۔ تقسیم کو کس سے بدل دیں؟ ضرب سے۔ ادھر اس کو الٹا دیں، 23/6 کو الٹایا کیا بن گیا؟ 6/23۔
اب کسی ایک عدد سے کٹ رہے ہیں اوپر نیچے والے؟ ہاں، ایک طرف بھی اوپر ہے 23 ہے، دوسری طرف بھی 23 ہے، یہ 23 سے کٹ گئے: 23 ایکم 23، اور دوسرا بھی 23 ایکم 23۔ ادھر 6 ہے اور ادھر 3 ہے، 3 سے کٹ گئے: 3 ایکم 3، اور 6 بھی 3 سے کٹ گیا: 3 دونی 6۔ تو جواب کیا آ گیا؟ دو جواب آ گیا۔
طریقہ سب کو سمجھ میں آ گیا بھئی؟ چلیے بس بھئی، هذا هو المرام والله أعلم بحقيقته۔